2.Ünite 6.sınıf matematik

TAM SAYILAR NEDİR?

Sıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, sıfırın solundaki sayılar negatif tam sayılardır.Pozitif tam sayılar,negatif tam sayılar ve sıfır sayısının birleşmesi sonucu tam sayılar kümesi oluşur.
Artı işareti olan pozitif sayılar (1,3,45,78,...), eksi işareti olan negatif sayılar(-2,-9,-34,-345,...) ve sıfırında dahil olduğu Z sembolü ile gösterilen sayılardır(....-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,...)
Tam sayılar denince sayının önünde artı yada eksi işareti varmı diye bakacaz. Artı işareti yoksada artıdır.

Bugün Manisa'da hava sıcaklığı sıfırın altında 2 derece (-2)
Denizaltı deniz seviyesinin 75 metre altındadır (-75)
THY uçağı şuan yerden 200 metre yüksektedir (+200)
Ali'nin karı 15 ytl (+15)
Ayşe'nin zararı 20 ytl (-20)

Tam sayılarda işlemler nasıl yapılır?

Artı tam sayıyla artı tam sayı toplanırken aynen toplanır işaret artıdır(+) Eksi tam sayıyla eksi tam sayı toplanırken aynen toplanır işaret eksidir(-)
Zıt işaretli tam sayılar toplanırken birbirinden çıkarılır büyük sayının işareti sonuçta bulunan
sayının önüne konur. Aynı işaretli tam sayıların çarpımı artıdır zıt işaretli tamsayıların çarpımı eksidir.www.matematikcifatih.tr.gg




Tam Sayılarla İlgili Örnekler:

(+3) . (+4) = (+12) +23+45=+68
(-3) . (-4) = (+12) +23-45=-22
(+3) . (-4) = (-12) -23+45=+22
(-3) . (+4) = (-12) -23-45=-68

Tam Sayılarda Pullarla İşlemler



Tam Sayılarda Toplama İşlemi:

Tam sayılarda pullarla toplama işlemi yaparken,ilk sayı kadar pul kutuya konur.Eklenecek sayı kadar pul kutuya ilave edilir.Kutunun içindeki pulların hepsi + işaretli ise toplanır ve sonuç + olarak yazılır.Kutunun içindeki pulların hepsi – işaretli ise toplanır ve sonuç - olarak yazılır.Eğer kutunun içindeki pullar – ve + işaretli ise,aynı sayıdaki – ve + pullar birbirini yer.Arta kalan pullar işaretleri ile birlikte sonuç olarak yazılır. (+6)+(-2)=+4


Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -5 pul duruyormuş.Sonradan +3 pul eklenmiş.Kutunun içinde - pul ile + pul yanyana gelince birbirini yer yani götürür. -3 pul +3 pulu yedi.Geriye -2 pul kaldı.Doğru cevap D şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta +2 pul duruyormuş.Sonradan +3 pul eklenmiş.Kutunun içinde +5 oldu. (+2)+(+3)=+5

Tam Sayılarda Çıkarma İşlemi:

Tam sayılarda pullarla çıkarma işlemi yaparken,ilk sayı kadar pul kutuya konur.Çıkarılacak sayı kadar kutuya – ve + işaretli pul konur.Çıkması gereken pullar kutudan çıktıktan sonra, kalan pullar kutuda sayılır.Eğer kutunun içinde – ve + işaretli kalmış olursa aynı sayıda olanlar birbirini yer.Arta kalan pullar işaretleri ile birlikte sonuç olarak yazılır.(-4)-(+3)=(-7)


Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -7 pul duruyormuş.Kutudan -3 pul çıkarılmış.Geriye -4 pul kaldı. (-7)-(-3)=-4

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta +9 pul duruyormuş.Kutudan +10 pul çıkarılmış.Yanlız +10 pul çıkarmak için kutunun içine +1 ve -1 pul ilave edilir.Daha sonra +10 pul çıkarılır.Geriye -1 pul kaldı. (+9)-(+10)=-1

Tam Sayılarda Çarpma İşlemi:

5 x (-3) çarpma işlemi yapılırken kutunun içerisine 5 tane 3’lü – pul girer.Sonuçta kutunun içinde 15 tane – pul olacak.



(-3) x 5 çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3 tane 5’li sıfır çifti pul girer.Sonra kutunun içinden 3 tane 5’li + pul çıkar.Burada ikinci sayı +5 olduğu için + pullar dışarı çıkar.



(-3) x (-4) çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3 tane 4’lü sıfır çifti pul girer.Sonra kutunun içinden 3 tane 4’lü - pul çıkar.Burada ikinci sayı -4 olduğu için - pullar dışarı çıkar.


Tam Sayılarda Bölme İşlemi:

8 : 2 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 8 tane + pul girer.Pullar iki gruba ayrılır.Her gruptaki pul sayısı sonucu verir.(:(2)=+4


(-14) : 7 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 14 tane – pul girer.Pullar yedi gruba ayrılır.Her gruptaki pul sayısı sonucu verir.(-14):(7)=-2



Tam Sayılarda İşlemlerin Sayı Doğrusunda Gösterilmesi:

Eklenen sayı pozitifse sağa doğru, eklenen sayı negatifse sola doğru ilerlenir.
(+4)+(-=(-4)


Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Doğru cevap A şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.


Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir.
(+6)-(+3)=+3

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir.
(-6)-(-10)=+4


Sayı doğrusu: Üzerinde sayıların eşit bir şekilde dağıldığı doğruya sayı doğrusu denir.Sayı doğrusunda sayılar soldan sağa doğru gidildikçe büyür.

Mutlak değer: Sayı doğrusu üzerindeki bir sayının, sıfır noktasına olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir.Uzunluk olduğu için mutlak değer pozitiftir.Sıfırın mutlak değeri sıfırdır.
l-2l=2, l+2l= 2, l2l=2


Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçek) sayısının başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.



İşlem önceliği: Birden fazla işlem karışık verilmişse, önce parantezler, parantez yoksa önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma yapılır. Eşit öncelikli yan yana olursa örneğin çarpma ve bölme, her zaman işleme soldan başlanır.
6.2:3= 12:3= 4 , 2:1:2= 2:2= 1

TAMSAYI TANIMLARINI YAPALIM

Z = {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z – , pozitif tam sayılar kümesi : Z+ ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, Z = Z – È Z+ È {0} dır.

POZİTİF SAYILAR, NEGATİF SAYILAR

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

a < b < 0 < c < d olmak üzere,

*

a, b negatif sayılardır.
*

c, d pozitif sayılardır.
*

İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
*

İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
*

Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.

m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.

*

Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
*

Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
*

Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
*

Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
*

Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
*

Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
*

Bir tam sayının + 1 e bölümü o sayının kendisine eşittir.
*

Bir tam sayının – 1 e bölümü o sayının toplamaya göre tersine eşittir.
*

Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır.
*

Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Sıfırın sıfıra bölümünde sonuç tanımsız mıdır? Belirsiz midir? Sonsuz mudur?

Alttan baksak sayı bölü 0’ın tanımsız olmasını bekleriz. Üstten baksak 0 bölü sayı şeklinde bir ifadedir ki buna 0 diye cevap veririz. Bu nedenle bu ifadeye net bir yanıt bulamıyoruz. Limit konusu içinde yer alan 0/0 belirsizliğini de örnek olarak kullanabiliriz. x sıfıra yaklaşırken x/x ifadesinin cevabını arıyorsak bu limitin cevabı 1’dir. Ama 7x/x yine aynı limit yaklaşımı için 0/0 belirsizliğidir ve 7 cevabını alır. Böyle her yaklaşım için farklı sonuçlar veren bu genel hallere belirsizlik denir.Yani 0 bölü 0 belirsizdir.


AÇILAR VE AÇI ÇEŞİTLERİ NELERDİR?

Aynı doğru üzerinde olmayan, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine AÇI denir.

Açıyı oluşturan iki ışının kesişim kümesine AÇININ KÖŞESİ, bu ışınlara ise AÇININ KOLLARI denir.

Açılar üç şekilde okunur;
1)Işınların nokta adları alınarak:
(ABC)açısı=(CBA)açısı

2)Sadece başlangıç noktası alınarak:
(B)açısı şeklinde.

Bir açı, bulunduğu bölgeyi üç bölgeye ayırır;

1.Açının Kendisi
2.Açının Dış Bölgesi
3.Açının İç Bölgesi

Açı ölçüsü DERECEDİR. Açıların ölçüsünü
bulmak için AÇI ÖLÇER veya İLETKİ kullanılır.

Özel Açılar

1)Dar Açı:Ölçüsü 0º `den büyük
ve 90º`den
küçük açılara DAR AÇI denir.

2)Dik Açı:Ölçüsü 90º olan açıya
DİK AÇI denir.

3)Geniş Açı:Ölçüsü 90º`den büyük 180º`den
küçük olan açıya GENİŞ AÇI denir.

4)Doğru Açı:Ölçüsü 180º olan
açıya
DOĞRU AÇI denir.

5)Tam Açı:Ölçüsü 360º olan açıya
TAM AÇI denir.

6)Tümler Açı:İki açının ölçüleri toplamı
90º olan açıya TÜMLER AÇI denir.

7)Bütünler Açı:İki açının ölçüleri toplamı
180º ise bu açılara BÜTÜNLER AÇI denir.

8)Bir Noktada Kesişen İki Doğrunun
Oluşturduğu Açılar:

a)Komşu Açılar:Başlangıç noktaları aynı
iki veya daha fazla açıya KOMŞU AÇILAR
denir.

b)Komşu Tümler Açılar:
Başlangıç noktaları
aynı, ölçüleri toplamı 90º olan iki farklı
açıya KOMŞU TÜMLER AÇILAR denir.
www.matematikcifatih.tr.gg
c)Komşu Bütünler Açılar:Başlangıç noktaları
aynı, ölçüleri toplamı 180º olan
açıya
KOMŞU BÜTÜNLER AÇILAR
denir.

d)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları
birbirine zıt ışınları olan iki açıya TERS AÇI
denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

9)Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı
Açılar

a)Yöndeş Açılar:Aynı yöne bakan açılara
yöndeş açılar denir.Yöndeş açılar
birbirine eşittir.
b)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları
birbirine zıt ışınları
olan iki açıya TERS AÇI denir.
Ters açıların ölçüleri birbirine
eşittir.

c)Dış Ters Açılar:Dışta kalan ve dışa bakan
ters açılara dış ters açılar denir.
Dış ters açıların
ölçüleri birbirine eşittir.

d)İç Ters Açılar:İçte kalan ve içi bakan
ters açılara iç ters açılar denir.
İç ters açıların
ölçüleri birbirine eşittir.

e)Karşı Konumlu Açılar:Paralel iki doğru
arasında kalan ve karşılıklı olan açılara denir.
Karşı konumlu açıların toplamı 180º`dir.

Açı Ortay

Bir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan
noktaların belirttiği şekle AÇI ORTAY denir.
Açı ortay açıyı iki eş açıya ayırır. Açıortay
üzerindeki her nokta açının kollarından
eşit uzaklıktadır.

ÇOKGENLER NEDİR?

ÇOKGEN ÇEŞİTLERİ NELERDİR?

1. Çokgen

Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A1, A2, A3, … gibi n tane (n ³ 3)
noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgen denir.

a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir.

b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir. Dışbükey çokgen



c. Çokgenlerin elemanları

A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu iki köşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğru parçaları çokgenin kenarlarıdır.



* İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir.
* İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir. www.matematikcifatih.tr.gg
* Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.

2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı



(n - 2) . 180°



b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde



Dış açılar toplamı =360°



c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin



n.(n-3) / 2

Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir.



3. Düzgün Çokgenler

Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.



a. Düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel çember denir.



b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.



c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.





d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir

e. n kenarlı düzgün bir çokgende bir iç açının ölçüsü

(n - 2) . 180°/ n

f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü

360° / n

4. Düzgün Çokgenin Alanı

a. n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve iç teğet yarıçapı r ise alanı



A= n.a.r / 2



b.n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı

(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) 360 / n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı



A= n.R.R.sina / 2

ÖRÜNTÜLER, ÖTELEME VE SÜSLEMELER

Örüntü Nedir?

Belirli bir kurala göre düzenli bir şekilde tekrar eden veya genişleyen şekil ya da sayı dizisine örüntü denir. Örüntüler eş yada benzer çokgenler kullanılarak oluşturulur. Örneğin, kağıttan birbirine eş bir sürü üçgen şeklini kestiniz.
Bunlarla bulmaca gibi balık, kuş,ev,halı,kare,dikdörtgen gibi farklı desenlerde yeni şekiller meydana getirebilirsiniz.İşte bu oluşturduğunuz yeni şekillere örüntü adı verilir.





Öteleme nedir?

Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde (sağ, sol, yukarı, aşağı) yaptığı kayma hareketine öteleme denir. Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür.
Ötelemede şeklin duruşu, biçimi ve boyutları aynı kalır.
Örneğin şeklimiz 3 birim yukarı, 4 birim sağa kaydırılacak ama yönü değişmeyecek sadece yer değiştirmiş olacak.

Öteleme Simetrisi

Bir şeklin kendisi ile öteleme altındaki görüntüsü eş ve simetriktir. Bu tür simetrilere öteleme simetrisi denir.



Süsleme Nedir?

Bir düzlemin boşluk kalmadan ve şekiller üst üste gelmeden örüntü oluşturacak şekilde döşenmesine süsleme denir.
Süsleme yapılırken düzgün olan ya da düzgün olmayan çokgenler kullanılabilir. Çokgenler arasında boşluk kalmamalıdır. Üçgenle, kareyle, dikdörtgenle, düzgün altıgenle, düzgün sekizgenle süsleme yapılabilir. Ama beşgenle yapılamaz çünkü arada boşluklar kalır.



Ötelemeli Süsleme

Şekiller düzleme öteleme hareketi ile döşenirse ötelemeli süsleme yapılmış olur.
Örneğin okuldaki fayansların dizilişi, halı desenleri.



Süsleme yapılabilmesi için, her bir köşede oluşan açıların ölçülerinin toplamı 360 derece olmalıdır.



Süslemenin Kodu Nasıl Bulunur?

Bir süslemede, her köşedeki düzgün çokgensel bölgelerin kenar sayıları süslemenin kodunu verir. Burada verilen süslemeli şeklin ortadaki köşelerinden birini belirleriz ve bu köşe etrafında oluşan şekillerin kenar sayısı ve kaç tane olduğuna göre kod yazarız.
Karelerden oluşan bir süslemede kod 4,4,4,4 (burada köşe etrafında 4 kenarlı 4 tane kare var)
Eşkenar üçgenlerden oluşan bir süslemede kod
3,3,3,3,3,3 (burada köşe etrafında 3 kenarlı 6 tane üçgen var)
Düzgün altıgenlerden oluşan bir süslemede kod
6,6,6 (burada köşe etrafında 6 kenarlı 3 tane altıgen var)




EŞLİK VE BENZERLİK

Eş Şekiller ve Eş Çokgenler

Aynı biçim ve ölçülere sahip,aralarından herhangi birinin çoğaltılan kopyalarına veya üst üste geldiğinde çakışan şekillere eş şekiller denir.



Biçimleri aynı,karşılıklı kenar uzunluklari ve açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere eş çokgenler denir.





Eş şekiller ve çokgenler benzerdir.Benzerlik oranı 1'dir.
Eşlik @ sembolü ile gösterilir.

Benzer Şekiller ve Benzer Çokgenler

Aynı biçim ve farklı büyüklüklere sahip olan şekillere benzer şekiller denir.



Açıları eş karşılıklı kenar uzunlukları oranı birbirine eşit olan çokgenlere benzer çokgenler denir.Bu orana benzerlik oranı denir.Yani benzerlik bir şeklin belli oranlarda küçültülmüş yada büyültülmüşüdür.

Çokgende Benzerlikle İlgili Özellikler


Benzerlik » veya ~ sembolleri ile gösterilir.










Eşlik ve Benzerlikle İlgili Sorular